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　　庄伯金庄伯金 .cn 庄伯金 .cn * 概率论与随机过程 第5章 大数定律及中心极限定理 庄伯金 .cn * 主要内容 大数定律 随机变量序列的收敛定义 中心极限定理 复习-切比雪夫不等式 定理：设随机变量 ，其数学期望和方差分别为 则对任意的正数 ，有 庄伯金 .cn * 辛钦大数定理：设 独立同分布，且 作前 个变量的算术平均值 则对于任意的 ，有 弱大数定律-辛钦大数定理 庄伯金 .cn * 弱大数定律-辛钦大数定理 证明：假设 因为 由切比雪夫不等式，可得 所以 庄伯金 .cn * 弱大数定律-切比雪夫大数定理 切比雪夫大数定理：设 相互独立，若 则对任意 ，有 其中 庄伯金 .cn * 弱大数定律-切比雪夫大数定理 证明：因为 由切比雪夫不等式可知 所以 庄伯金 .cn * 强大数定律 柯尔莫哥洛夫大数定理：设 相互独立，满足 则 庄伯金 .cn * 随机变量序列的收敛性 设随机变量序列 ，它收敛到 有三种不同程度的收敛方式。 依分布收敛：若 则称序列 依分布收敛到 。 依概率收敛：若任给 ，有 则称序列 依概率（测度）收敛到 。 几乎必然收敛：若 则称序列 几乎必然收敛到 。 庄伯金 .cn * 随机变量序列的收敛性 三种收敛性程度依次增强： 若几乎必然收敛，则一定依概率收敛； 若依概率收敛，则一定依分布收敛。 强大数定律揭示了几乎必然收敛性； 弱大数定律揭示了依概率收敛性。 庄伯金 .cn * 弱大数定理 辛钦大数定理：设随机变量 独立同分布，且 则序列 依概率收敛到 。 伯努利大数定理：设 是 重伯努利试验中事件A发生的次数， 是每次试验中事件A发生的概率，则对于任意 ，有 注：伯努利大数定理揭示了随着试验次数增加，频率稳定趋向于概率。 庄伯金 .cn * 中心极限定理 独立同分布的中心极限定理：设随机变量 独立同分布，且 则 其中 。 注：记 则独立同分布的中心极限定理表明 依分布收敛到标准正态分布。 庄伯金 .cn * 中心极限定理 由独立同分布的中心极限定理可知，若 独立同分布，且 ，对于足够大的 ， 1. 2. 注：独立同分布的 个随机变量的均值，近似等于正态分布。 庄伯金 .cn * 中心极限定理 定理2：设随机变量 相互独立，且 记 若存在正数 ，使得 则 依分布收敛到标准正态分布。 庄伯金 .cn * 中心极限定理 定理3：设随机变量 服从参数为 的二项分布，则对于任意 ，有 庄伯金 .cn * 中心极限定理 例：一加法器同时收到20个噪声电压 ，假设它们相互独立，且都在 上均匀分布，记 求 解：由题可知 因此 庄伯金 .cn * 中心极限定理 例：计算机在进行加法时，对每个加数进行四舍五入取整，设每个加数相互独立，并均匀分布。若将1500个数相加，误差总和的绝对值超过15的概率是多少？ 解：设 表示每个加数取整误差，则 记 则 庄伯金 .cn * 中心极限定理 例：一个复杂系统有100个相互独立的系统部件组成，每个部件损坏的概率为0.10。为了使整个系统起作用，至少必须85个部件正常工作，求整个系统起作用的概率。 解：设 表示每个部件是否正常工作，则 记 则 庄伯金 .cn * 作业 P126 1 P126 4 P127 10 P127 13 庄伯金 .cn * * * * 庄伯金 .cn 庄伯金 .cn * * *