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　　伯努利大数定律 现在我们来介绍伯努利《推测术》中最重要的部分——包含了如今被称之为“伯努利大数定律”的第4部分。回到前面的缶中抽球模型：缶中有大小、质地一样的球个，其中白球个，黑球个，“抽出之球为白球”的概率为，则有。假设有放回地从缶中抽球次，记为抽到白球的次数，以估计。这种估计法现今仍是数理统计学中最基本的方法之一。此处的条件是，每次抽取时都要保证缶中个球的每一个有同等机会被抽出，但这一点在实践中并不见得容易保证。例如，产生中奖号码时可能要用复杂的装置。在实际工作中，统计学家有时用一种叫做“随机数表”的工具。这是一本很厚的书，各页按行、列排列着数字，它们是用据信是“充分随机”的方法产生的。在使用时，“随机地”翻到一页并随机地点到一个位置，以此处的数字确定抽出的对象。 伯努利企图证明的是：用估计可以达到事实上的确定性——他称为道德确定性。其确切含义是：任意给定两个数和，总可以取足够大的抽样次数，使事件的概率不超过。这意思就很显然：表明估计误差未达到指定的接近程度，但这种情况发生的可能性可以“随心所欲地小” 代价是加大 。为忠实于伯努利的表达形式，应指出两点：一是伯努利把限定于，虽然其证明对一般也有效。但他做这一模型限定与所用缶子模型的特殊性有关：必要时把缶中的白、黑球分别改为和个，则不变，改为，只须取足够大，便可使任意小。其次，伯努利欲证明的是：对任给的，只要抽取次数足够大，就可使 . （5） 这与前面所说是一回事。因为由上式得 （6） 取充分大，可使 6 式右边小于。 另外要指出的是：伯努利使用的这个缶子模型使被估计的值只能取有理数，因而有损于结果的普遍性。但其证明对任意的成立，故这一细节并不重要。 伯努利上述对事实上确定性数学的理解，即 5 式，有一个很值得赞赏的地方，即他在概率论的发展刚刚起步的阶段，就给出了问题的一个适当的提法。因为，既然我们欲证明的是当充分大时，和可以任意接近，则一